Нет, такое ненормально.
Если родители не оплачивают работу тренера с Вами, а договорились на т.н. "прокатный" бартер, то в чём был вообще смысл покупки лошади? Деньги за неё отдали, за содержание, я так понимаю, платите, но лошадь Вам по-прежнему де-факто не принадлежит.
Кстати, всаднику таки полезно ездить на разных лошадях, учиться находить общий язык с любой лошадью; но не наоборот.
С другой стороны, я могу себе представить уважительную причину. Если лошадь - дичок, ссаживает всадников, и её надо учить и учить; "прокат" - это не прокат с улицы, а один-два спортсмена-разрядника из той же школы; если лошадь надо работать, а вы не можете приезжать к ней каждый день, да и вообще физически не справляетесь с лошадью, а у берейтора на работу с ней не хватает времени. Если какой-то пункт не совпадает - с Ваших родителей взяли деньги не на покупку лошади, а непонятно за что.
Покажите родителям эту ветку, чтобы они убедились, что это не просто ваш каприз, а с вами согласны все отписавшиеся - взрослые люди, кстати.